2011 開成｜掲示板スレッド

直接、学校にお名前を告げて問い合わせたらいかがですか？
お答えになるかどうかは不明ですが。
ここでは質問者も回答者も本当は誰が誰だかわかりません。
信用できますか？

大問２は、「開門と同時に券売機の前にならんでいる一人目が券を買い始め、１２秒後に買い終わって列から離れる。その１２秒間に２人（６秒に１人）がどこかの列に新たに加わる。」という前提で考えてみます。するとニュートン算で考えて、（１）は３００人となり、（２）を考えているところで人間が半分（？）になることはないことに気付き、７．５分（４５０秒）の段階ではまだ半数の券売機の前には人が残っているので、正答は７．６分（４５６秒）ということになるのでは。
いくら難関校とはいえ、少なくとも小学生を相手に出す「入試問題」だと考えれば、（１）を３００人として、（２）のひねりに気付いて正答を出せる子には満点を出し、７．５分とした子も部分点をあげるのではないだろうかと推測します。

ただ気になるのは、（１）の正答が３００人だけではないのでは？ということ。最初の人数が２９８人でも、題意を満たすように思えるのです。（もちろん２９９人でも）
その場合でも（２）はやはり７．６分（４５６秒）となるはずですが。

たしかに「入試問題」の採点としては、（１）３００人、（２）７．６分（４５６秒）で良いと思います。
しかし、（１）の答えが３００人だけではないのでは？、と考え始めてしまい、そのためにものすごい時間を取られてしまった子がいたとしたら、どうなるのだろうか・・・

昨年に続き、受験者平均が高い（５７．７点）ところで、さらに合格者平均が８５点満点で７２．１点と非常に高いことを見ると、算数での大きな減点は致命傷かと思われます。（その他の教科の受験者/合格者の平均点の差が小さいので）

もしも（１）の正答が３００人だけではないとしたら・・・
それでも３００人という答えだけで正答としているのなら・・・
算数が得意ゆえに深く考えてしまって、ここで時間を使いすぎ、その他の問題で時間を割けなくなった子がいたとしたら・・・

一つの問題で時間をかけすぎることなく、うまく配分することが受験の王道ではあるものの、そこは受験という異常な雰囲気の中での話。そんなにうまくは切り抜けられないもの。
もし、深く考えずに（１）３００人、（２）７．５分として、ほとんどこの問題で時間をかけずに、他の問題に時間をかけて凡ミスをなくすことが出来たのなら・・・
結果的にはそっちの方が、良かったなんてことがないことを願うばかりです。

あくまでも「入試問題」であり、入学選考が目的であるということを考えれば、学校がどのような子を入学させたいかというポイントが「主」であることはしょうがないですが。

いずれにせよ、開成の発表を待つしかないですね。

まず、お詫びとともに訂正です。申し訳ございません

①のところ　９：４９：５４に来た人は　⇒　９：１９：５４に来た人は
②のところ　９：０６：００の間に来園　⇒　９：００：０６の間に来園
最後の結び　但しければ　⇒　正しければ


不思議　さん
　学校に名前を告げても、私も一人息子（去年受験終了）も開成に縁もゆかりも無く、こんなことで一番お忙しい時期であろう先生方にお時間を取らせるのも良くないと思ってます。一方で当方の身分・関係を開示して四谷大塚さんには質問メールを出しました。

どこまで　さん
　おっしゃるとおり「結果的にそっちの方が良かった」を避けて欲しいといういうことだけです。

どこまで？さんの前提＝券売機にばらばらに並ぶ場合でも
（１）３０１人　３０２人　３０３人の３通り　（２）７分２４秒（７．４分）　が正答だと思います。

券売機が１２秒　新たな人が来るのが６秒なので、全ての券売機が完全に空く時間はありません。前の人の購入が終わらないうちに次の人がきますから。
なので「行列がなくなる」＝「必ずどこかの券売機が空いていて、すぐ券が買える状態」とします。
また、券売機が開門とともに稼動し始めて一斉に買い始める、券売機に常に均等に人がやってくるとします。
（１）例えば、５台の場合２０分で　（２０×６０／１２）×５＝５００人
この２０分に新たに来園するのが　２０×６０／６＝２００人
　　最初に３０３人いたとして、２０分００秒の時点では３０３＋２００－５００＝３人が券売機の前に立てていません。
　　　　①未着手の３人が２０分００秒から買い始める３台
　　　　②２０分００秒～０６秒の間に来る人が買い始める１台　
　　　　③２０分０６秒～１２秒の間に来る人が買い始める１台
　　２０分１２秒以後に来園する人は①の３台が空いているので順次購入可能です。つまり５台ならば２０分００秒から待たずに買える。

　　３００人の場合は１９分４８秒の時点で　３００＋来園１９８人＝４９８人
　　１９分４８秒での処理総数は５００－５人＝４９５人　残り３人となり、この時点で上記と同じ状態になってしまいます。

（２）７分２４秒が正しいことは簡単に説明可能です。
　　　　　総処理人数＝（７×６０＋２４）／１２×１０＝３７０人
　　　　　総来園人数＝３０３＋（７×６０＋２４）／６＝３７７人
　　　７台が残りの７人　２台が２４秒以降に来る人の対応で、まだ空き１台が発生します。
　　　問題は、７分２４秒の導き出し方ですが、通常のニュートン算と違い、「連続数」ではないことから、「１２秒一組」で考えるのではないでしょうか。
　　　１２秒ごとに１０人減って２人ふえるので、最初にいた３０３人が１２秒ごとに８人減る。３０３÷８＝３７余り７
　　　３７×１２秒＝４４４秒＝７分２４秒の時点で７人残りで、１０台ならば以後は待たないことになる。

外で１列になっても、中で券売機の前で待っても、移動時間・交代時間を考慮しないので結果は同じになると思います。ただ、あくまで問題文からこちらで「こんな前提条件」と想定して解いていますので、前提の置き方では別解もあるかもわかりません。
問題文が不親切だとは思いますが、一方で、前提を細かく書いたり、（１）で「考えられる人数を全て書け」とか記載したら、もっと気づく人が多かったか、かえって受験生が一斉に不安に陥ったかの、いずれかだとは思います。


さすがは開成、と思われる名作問題だと思うのですが、いかがでしょうか。

なるほどお～～。

しかし、さすがは開成、というよりは、

開成の先生は、小学生にこの問題を解かして、かなりの人数のお子さんが解けることを期待されていらっしゃったのでしょうか？　他の問題との難易度のバランスがかなりちぐはぐですね。他年度でもそう感じたことがありましたが、今年はかなりすごい？

また正解の子がいないということなのに、合格者平均点が高い。「部分点をどのように与えたのか？」　とても不思議です。

本当の解答とともに、どのように評価されていくのか？も興味津々です。

うさこさん

残念だったのかなあ・・・？？？

今頃という感じでしょうが、たまたま今日この問題を2chで見て、しかも正解者がいなかったということを知り、解いてみました。予め、全ての発言に目を通した訳ではないことをお断りします。

(1)ですが、「【2008444】 投稿者: 開成高1」さんのように

　券売機1台1分あたりの消化人数をx(人)
　1分あたりの増加人数をy(人)
　開門時の行列人数をz(人)

として連立方程式を立てて解を得ると、確かに

　x=5,y=10,z=300　－－－（答1）

となります。これが間違っているということで間違いの可能性を検討してみました。（答1）が正しいとすると、

　■券売機1台1人あたりの処理に要する時間＝60/5=12（秒）
　■（「一定の割合」と書かれているので等間隔で人が現れるとして）
　　次の1人が現れるのに要する時間＝60/10=6秒

といえます。（答1）が成立すると仮定すると、例えば「6台使った時は15分で行列がなくなる」状況では、

　■行列の最後の客の券売機購入が終わる時刻＝15:00（分:秒）

とみなしています。ですが、最後の客に注目すると

　■行列の最後の客が最も早く現れる時刻＝14:54
　■行列の最後の客の処理が最も早く終了する時刻＝14:54+0:12=15:06

となり、15分を過ぎ矛盾しています。この場合、16分で処理が終わったといえます（厳密には新たな客が来ていますが、16分以内に処理が終わります）

　（答1）が成立する状況は、券売機に空きが出ることなく、例えば各分の最初に（秒が0の時：例えば、9:00, 14:00, 19:00）まとまって客が来るような状況と言えます。この場合、「一定の割合」で客が到着するとはいえないと思います。これを「一定の割合」というのであれば、（答1）が成立しますが、普通に考えるといえないと思います。

　ここでもう一つのポイントは、問題文にはどこにも秒の単位で説明されていない、ということです。(2)の解答も分単位で解答するように求められています。ですので、私の考えは、

　連立方程式を考える際に、

　　5台使うと20分　→　19分
　　6台使うと15分　→　14分
　　7台使うと10分　→　9分

の数字を使えば、題意を満たす答えが得られる、ということです。答えは計算すると簡単に求まるでしょう。


　まあ、合っているか分かりませんが、同様の答えを見つけられなかったので書いてみました。




　

この掲示板の議論を見て驚きました。

件の問題は典型的な待ち行列理論の問題です。
googleすればたくさんの類題が見つかると思いますし、
開成の出題者もそれらを参考にしたと思います。

結論から言うと、正しい答えは３００人、７．５分で間違いないと思います。
この掲示板では人数が離散数量であることにこだわっている方が
多いようですが、新たにやってくる人や機械操作にかかる時間は
ばらつきがある（確率変数）なので、平均到着率が10人/分、
平均サービス時間が１２秒と見るのが良いと思います。

題意にある20分、15分等で行列がなくなるというのは、
平均（期待）値と解釈できます。
ただし、人数が十分多い（３００人）の場合は、大数の法則
が成り立つので、実際の時間も期待値とほぼ一致します。
期待値は連続変数なので、通常離散性を考慮する必要ありません。