2011 開成｜掲示板スレッド

えっと・・・
券売機の捌き方が一定かつ、前の人が買い終わってから次の人が買うまで0秒（一瞬）という仮定の下では
　
券売機は12秒ごとに1人処理し、人は6秒ごとに1人訪れるのだから

7分23秒9999 前のグループが終了
7分24秒　　　 残っていた6人が（6台の券売機で）買い始める　同時に1人訪れて即座に買い始める・・・A
7分30秒 さらに次の1人が訪れて買い始める・・・B
7分36秒　　　 Aグループが買い終わる　同時に1人訪れて買い始める・・・C
7分42秒　　　 Bが買い終わる　同時に1人訪れて買い始める・・・D
7分48秒　　　 Cが買い終わる　同時に1人訪れて買い始める・・・E
以下繰り返し

ですから「行列が無くなる＝買うのに並ぶ必要が無くなる」のは7分24秒じゃないのですか？

訂正します
7分24秒時点で残っているのは6人ではなく4人ですね（結局どちらでも同じことなのですが）

この問題のポイントは、ポンプで水をいれる例では「水が無くなる」瞬間を求めさせるのに対し、
この問題では「人がいなくなる」瞬間ではなく、「並ばなくてよくなる（つまり少しは残っていてもいい）」瞬間を求めさせていることだと思います。

何度もすみません　
そうすると（１）の答えも違ってくることに気付きました
「N台券売機がある時行列が無くなるのは、残り人数がN-1以下になった瞬間」ですから

1分間に券売機1台が処理する人数をX
1分間に訪れる人数をY
開園前の人数をZ
と置くと

20y+z-4≦100x≦20y+z　　式A（つまり4人以下になった瞬間）
15y+z-5≦ 90x≦15y+z 式B（つまり5人以下になった瞬間）
10y+z-50-6≦70x≦10y+z-50 式C（つまり6人以下になった瞬間）

B*2-(A+C)より
40≦10x≦60　★
4≦x≦6
です

ところで、10分、15分、20分が行列が無くなる瞬間ですから、xは1/10 1/15 1/20の整数倍である必要があります
つまり1の倍数でなくてはならないので　X=4または5または6です

X=4の場合
これは★の不等式で左の等号が成り立つ場合だから
式Bで左の等号が　AとCで右の等号が成り立つ場合で、この方程式を解くと
y=7 Z=260となります　

X=6の場合
これは★の不等式で右の等号が成り立つ場合だから　同様に考えて
y=64/5 Z=348となります
（1分あたりの訪れる人数が分数値になるのは特に問題有りません）

X=5の場合
Aより　500≦20y+z≦504 1500≦60y+3z≦1512 D
Bより　450≦15y+z≦455 1800≦60y+4z≦1820 E
Cより　400≦10y+z≦406 2400≦60y+6z≦2436 F

296≦z≦312であり、
296≦z≦300の時　40-0.1z≦y≦25.2-0.05z
300≦z≦308の時　25-0.05≦y≦25.2-0.05z
308≦z≦312の時　25-0.05z≦y≦40.6-0.1z
を満たすようなyを取ることができて、これらは全てDEFを満たすのでOKです

以上より開演前の人数は　260人または348人または　296人から312人までの任意の人数です

次は（２）です
X=4 y=7 z=260の時
求める時間をa分とすると、　aは1/4の整数倍で
260+7a-9≦40a≦260+7a
を満たす最小のa
計算すると　a=7.75 (つまり7分45秒)

X=6 y=64/5 z=348の時
求める時間をb分とすると、　bは1/6の倍数で
348+64/5b-9≦60b≦348+64/5b
を満たす最小のb
計算すると b=7+1/3(つまり7分20秒)

X=5 296≦z≦299 40-0.1z≦y≦25.2-0.05zの時
求める時間をc分とすると、　cは1/5の倍数で
z+(40-0.1z)c-9≦50c≦z+(25.2-0.05z)c
を満たす最小のc
計算すると(境界のみ計算すれば良いことがわかる)　c=7.4(7分24秒)

X=5 300≦z≦307 25-0.05≦y≦25.2-0.05z の時
求める時間をd分とすると、　dは1/5の倍数で
z+(25-0.05z)d-9≦50d≦z+(25.2-0.05z)d
を満たす最小のd
計算すると d=7.4

X=5 308≦z≦312 25-0.05z≦y≦40.6-0.1z
の時求める時間をe分とすると、　eは1/5の倍数で
z+(25-0.05z)e-9≦50e≦z+(40.6-0.1z)e
を満たす最小のe
計算すると　e=7.6

それっぽい数にはなったけどなんだこれは・・・・

昨晩は疲れ果て、力尽きて寝てしまいました。。。

>券売機は12秒ごとに1人処理し、
言い方の問題だけですが、12秒毎に1列（行と行った方が良い？）
づつ処理（5台なら5人）できると言った方が誤解が少ないですね。
つまり、この問題では、５台の場合の券売機全体の処理速度は
２５人/分、６台では、３０人/分、７台では３５人/分と変わってきますね。

>人は6秒ごとに1人訪れるのだから
増える割合がそうだったとしても、問題には、「一定の割合で
入園希望者が行列に加わっていきます。」としかないので、
実際に増えるのは12秒毎に2人かもしれないし、1分毎に10人
かもしれない。人が増える間隔によって答えは変わります。
私はこの部分が、この問題のポイントなのだと思っています。

ちなみに、昨晩遅くに再挑戦しましたところ、やはり
（１）300人、（２）7.4分となりました。（あはは。。）

今、時間がないので、また後ほど。

私の考えも書いておきます。
皆さま、ご検討お願いします。

まず、（1）ですが、ニュートン算の基本の面積図を5台の場合、
6台、7台の場合を並べて描いて、それぞれのケースがそれぞれの
時間で何人処理したのかを調べ、1分あたり何行処理できるのかを
計算しました。それぞれ、5台：500人（100行）、6台：450人（75行）、
7台：350人（50行）となりました。また、5台の場合（20分）と
7台の場合（10分）の差から、5台の場合の方が2倍の人数が増えて
いるであろう点に着目し、（1）＝300人としました。

問題の（2）ですが、（1）から1分あたり10人の割合で人が増えて
いることはわかったのですが、その増える時間間隔が分からず
苦悶していました。ところが、問題文をよく読むと、「5台使うと
20分で行列がなくなり～」とあります。つまり、一度に5人以上
増えるとまた行列が出来てしまうので、一度に増える人数は5人
以下でないとならないと考えました。当然、人は整数倍でしか
増えませんので、考えうるケースは、

・30秒（0.5分）あたり5人増
・12秒（0.2分）あたり2人増
・6秒（0.1分）あたり1人増

のいずれかになります。
ここで、10台の場合を考えると、券売機10台の処理速度である50人/分
から算出して、始めに並んだ300人を処理するのにかかる時間が6分、
その6分の間に増える人数が60人、その60人を処理する時間は1.2分、
その1.2分の間に増える人数は10～12人です。このとき、最低10人
増えるのですから、上記に加えて0.2分はかかります。しかしまだ、
最大で2人残っていますので、これを処理するのも同じく0.2分かかる
と考えがちですが、その最後の10人の行が処理された瞬間、行列は
なくなっている（その1人、もしくは2人の後ろに人が並んでいない）
というのが私の考えです。よって、（2）＝7.4分

いかがでしょうか？

６秒ごとに1人列に並ぶと考えると、問題文にある「５台使うと20分で行列がなくなる」という条件に合いますか？
私がやるとどうしても19分48秒後に行列がなくなってしまいます。
他の条件も全部12秒前になくなります。Excel使ってやってみたんですけどね。

5台の場合、20分の間に増える人数が200人。最初からいた
人数と合わせると500人（100行）。12秒毎に1行減るので
12秒×100行＝1200秒（20分）だったわけですが。。

よくよく考えると、最後の1行の後ろには人が並んでない
ので、最後の行の一つ前の人達が処理された瞬間に、行列が
なくなったと判断して、仰るように、20分－12秒＝19.8分
でいいのかも。

ということは、20分で行列がなくなるには、最初並んでいた
人の数が61行である必要があるのかな。つまり、301人～
305人の間のどれか。6台の場合、7台の場合の整合を考えても
どれもありうる？ということは、（1）の答えは301～305人？
こんな答えは変ですね。。