【大学受験目標】ベストな学習法について｜掲示板スレッド

タントさん


＞ちょっと考えれば、全て解る単純な事だと思います。
＞正直、コブシさんの数学観が理解できません。


Ｎ進法と分数や小数で割るということについては、たしかに考えればわかることだと思います。「ちょっと考えれば」かどうかは、個人差があるでしょうが、少なくともこれらは｢理解｣になじむ性質のものだと思います。
でも、負×負はなぜ正になるのかについては、考えてわかることではありません。なぜって、これは「単にそう定義されたから」以上のものではないから。タントさんが数直線でどのようにイメージを作り上げようと、それはタントさんのイメージ以上のものではありえないし、まして他人に対して「そう理解するのが当然」と主張できる性質のものではありません。個々人の勝手なイメージを押し付けられることは、それを受け付けないものにとっては無用な混乱を強いることになり大迷惑なんです。
最後に、私は「本質」ってこんな些細なことを自分なりにクリアにしていくことにあると思っています。


アンダンテさん


純粋理系の人はこういった本には魅かれないという点、不思議ですね。
なぜだろう？娘はどっちに向かっていくんだろう？と考えさせられます。
そんな大切な本を紹介してくださって、嬉しかったです。

コブシ　さん


>でも、負×負はなぜ正になるのかについては、考えてわかることでは
>ありません。
　　　
例えば、　－１　×　－１　＝　＋１
前の－１にしたがってＸＹ平面の点を１８０°回転後、
さらに後の－１にしたがって、さらにＸＹ平面の点を１８０°回転します。
結局、合計で３６０°回転し、元の値に戻ります。

また、－aをかけるということは、ＸＹ平面の点を１８０°回転後、
移った点をさらに原点を基点としてａ倍に拡大あるいは縮小することです。
　　

　

コブシ　さん
　
もっと、解り易い説明を思いつきました。
　
正負の『負』を『逆』と読み替えて下さい。
何故なら、これを理解する事はベクトルの基礎ですから。
つまり、方向です。
　
＞負×負
　
これは、逆の逆　になります。だから、向きは　正　です。
これを覚えるのではなく、理解できないとベクトルで
躓きます。

タントさん


タントさんが行っているのは、自分なりのイメージ作りでしかないんですよ。そもそもが「定義」だから、理解する・しないの問題ではなく、ただそのまま受け入れるべきものなんです。「定義」で理解しづらければ「約束事」とでも理解してください。


今日、本屋で中学数学の参考書を見てきました。「語りかける…」では数直線で説明、「まるごと…」のほうは「理屈抜きで覚えてください」となってました。この点に関しては後者のほうが優れていると思います。

コブシ　さん
　
＞タントさんが行っているのは、自分なりのイメージ作りでしかないん
＞ですよ。そもそもが「定義」だから、理解する・しないの問題ではな
＞く、ただそのまま受け入れるべきものなんです。「定義」で理解しづ
＞らければ「約束事」とでも理解してください。
　

先ず「定義」でなく、この場合『公理』と云うべきでしょう。
　
数学的には証明できますが、ここでは専門的になるので止めましょう。
　
算術的に、下記のように説明している方もいました。
ご参考になれば嬉しいです。
　
*********************************　
－３にいろんな数を掛けてみます。
　－３×３＝－９
　－３×２＝－６
　－３×１＝－３
　－３×０＝０
このように、掛ける数を１ずつ減らすと、答えは３ずつ増えます。
この規則を崩さないように、さらに掛ける数を減らすと、
　－３×（－１）＝３
　－３×（－２）＝６
　－３×（－３）＝９
　－３×（－４）＝１２
のように、負の数を掛けることもできます。

　

タントさん


「公理」だとしても「理解」となじまないことは変わりありません。


＞この規則を崩さないように、さらに掛ける数を減らすと


「この規則を崩さないように」とすべき理由はどこにもないはず。


数学的に証明というのは分配法則を用いた証明のことですか？それは逆です。負×負＝正と定義するから分配法則が成り立つんです。


（参考）
＞１３２人目の素数さん：2009/10/15(木) 07:12:14
＞本当は「マイナス掛けるマイナス」をどう決めようと構わない。
＞問題は、その様な数学が何かの役に立ったり、それ自身が美しかったり、
＞他の方面への広がりを見せたりするか否かで、値打ちが決まる。
＞それが数学でいう約束、即ち定義の正体なのである。
＞この場合には、結果を「プラス」と決めるのが「美しい」のである。
＞
＞虚数の情緒―中学生からの全方位独学法 (単行本)
＞吉田 武 (著)
＞価格： ￥ 4,515 配送料無料

コブシ　さん
　
『虚数の情緒』は、以前、私も紹介しました。
我が家にあります。１７７ページをご覧ください。
　　
コブシさんが、仰ってる事は。ここの
話題の部分ですね。そうでしょう？(笑い)


公理→それを認めることにすること。証明できない命題。
定義→あるものを他のものに言い換えたり限定したり区別したりこと。
定理→公理を使って証明して導く事柄。

だから、まず定義ということはないです。
定義は、いわばただの言い換えにすぎないので。

で、公理か定理かということになりますが、
数の世界というのは、すべてはいくつかの公理からすべてが成り立つとしています。
その中にマイナスかけるマイナスがプラスになるというものを謳っているものは
ありません。

その公理のみを使ってマイナスかけるマイナスはプラスだということを
導くわけです。
そういうわけで厳密には証明から導くことなので定理ということになります。


マイナスの数値をかける、というのは要は
「向きを逆転させる」
ということだと認識してました。
＃数直線だと分かりやすいですよね。

だから、定理でも定義でもなく、「性質」なんだと思います。

コブシ　さん
　
虚数の情緒の著者、吉田氏も本文ではな、話題として、
負　×　負　＝　正　を理解出来ないと言う人は、
適切な答えを持っている人が少ないので、非難もされず
大手を振るって怠惰を貪れる。と書いています。
　
また、吉田氏は、コブシさんの主張の中での『約束』と
も云ってす。しかし、吉田氏は併せて、『覚えろと云っ
ているのではない』として、約束の背後にあるものを
体感せよ。と云っています。
　　
因みに、吉田氏は、１７８ページで整数の持つ方向性と
云う中で、コブシさんの問いに答えていますよ。さらに
ベクトルにも触れています。
　　
吉田氏の結論は、やはり、性質です。（１７７ページ）
　　　
負×負=正　　（-1）×（-1）＝１
　
を証明するのに必要な公理は、『ペアノの公理』ですね。
これは、自然数とは何かを示したもの。
　　　
証明には、やはりコブシさんの仰る通り、
分配の法則などが必要ですが、これは、『ペアノの公理』
によれば問題ない筈です。
　
コブシさんも、流石に自然数までも前提をひっくり返して
考察しようとは、お考えにならないでしょう？
　　
下記に参考までに証明例を示しておきますね。
　　
　
Ⅰ．ある集合C の元（要素）a,b,c について次の二つの演算を定義する。


加法 a+b は次を満たす。

　ア a + (b + c) = (a + b) + c （結合法則）

　イ a + 0 = 0 + a = a （となるようなC の元0 が存在する）

　ウ a + (-a) = (-a) + a = 0 （-a を a の逆元とする）

　エ a + b = b + a （交換法則）

乗法 ab は次を満たす。

　オ a(bc) = (ab)c （結合法則）

　カ a(bc) = (ab)(ac) （左分配法則）

　キ (ab)c = (ac) + (bc) （右分配法則）

　ク a1 = 1a = a （となるようなC の元1 が存在する）

　ケ ab = ba （交換法則）


Ⅱ．a0 = 0a = 0（…コ）を証明する。

0 = a0 - a0 （ウ）

= a( 0 + 0 ) - a0 （イで a=0）

= a0 + a0 - a0 （カ）

= a0 + ( a0 - a0 )

= a0 + 0 （ウ）

= a0

= 0a （ケ）　　q.e.d


Ⅲ．-a = (-1)a （…サ）を証明する。

a + (-1)a = 1a + (-1)a （ク）

= {1 + (-1)}a （キ）

= 0a （ウ）

= 0 （コ）

よって ウ より (-1)a は a の逆元であるから

(-1)a = -a　　q.e.d


Ⅳ．(-1)(-1) = 1 を証明する。

サ において a に -1 を代入すると，

（右辺）= (-1)(-1)

（左辺）= -(-1)

= 1 （ウ; -1 の逆元は 1）


以上で証明された。